受信設定
 今まで自分が所持している複数のOutlook.com アカウントに来るメールはOutlook.comではなくGmailで受信していたのですが、4月以降に以下のようなエラーが次々出て受信できなくなりました。
認証エラーが発生しました。 このアカウントのメールは 5月27日 以降取得されていません。
 ちなみにエラーが出るまで使用していたPOPサーバーはどのアカウントも「pop3.live.com」でしたが、このエラーの日付はアカウントによって4月から5月末の間で日付が異なっていました。サーバごと一斉にではなくリニューアルを期に順次変更していったのでしょうか。

 受信できなくなったのはOutlook.com側の変更が原因ですので、Outlook.comの設定を変えてPOPサーバ名を書き換える必要があります。
 そのやり方をここ一ヶ月くらい人に訊かれるたびに説明してたのですが、そのうち忘れそうなのでここに書き留めておきます。

 受信できるようにする手順としては、まずOutlook.comにサインイン→上部ナビゲーション右よりの歯車アイコン[メール設定]→[オプション]→[メール]→[アカウント]→[POPとIMAP]→[POPオプション]で[はい]を選択し上の[保存]を押します。
Outlook メール→設定→オプションを選択
メール→アカウント→POPとIMAP
POPオプション→[はい]→[保存]
 このままの状態だと[POPの設定]欄は「アクセスが無効になっています」と出てます。

 いったん[POPとIMAP]以外の[転送]などに切り替えてから、もう一度[POPとIMAP]に戻ってください。戻ると[POPの設定]欄に[サーバ名]などが表示されます。
POPの設定
サーバー名: pop-mail.outlook.com
ポート: 995
暗号化方法: SSL
POPの設定
 後は表示された情報をGmailで設定するだけです。
 「ユーザ名」に「メールアドレス」、「パスワード」にMicrosoftアカウントのパスワードを入力。「POP サーバー」欄に「pop-mail.outlook.com」と入力し、「ポート」は「995」を選択し、「メールの取得にセキュリティで保護された接続(SSL)を使用する。」にチェックを入れて「変更を保存」を押します。
Gmailの設定画面
 前述の切替えを省くと、Gmail側POPサーバーを「pop-mail.outlook.com」に変更して接続しようとしても「指定のユーザー名とパスワードによる POP3 アクセスはサーバーで拒否されました。」と表示されてしまいますので注意してください。

 ついでに、表示言語が英語の場合の手順も書いておきます(表示する言語が違うだけで日本語の場合と同じです)。
 Outlook.comからSign in→上部ナビゲーション右よりの歯車アイコン[Mail Settings]→[Options]→[Mail]→[Accounts]→[POP and IMAP]と辿ります。
Outlook Mail→Mail Settings→Options
Mail→Accounts→POP and IMAP
 [POP and IMAP]の[POP options]で[Yes]にチェックを入れて[Save]を押下。
POP options→[Yes]→[Save]
 いったん[POP and IMAP]以外の[Forwarding]などの他の項目へ切替えてから[POP and IMAP]に戻ると[POP setting]欄に[Server name]などが表示されています。
POP setting
 あとはGmailの設定だけです。

 さらについでに、同じMicrosoftの運営に移管されたinfoseekメールの場合も書いておきます。infoseekドメインのメールは他のMicrosoft管理のドメインと表示が異なりました。まだ新しいデザインに移行していないのかもしれません。
 Outlook.comからサインイン→上部ナビゲーション右よりの歯車アイコン→[オプション]→[アカウントの管理]の[POP を使ったデバイスとアプリの接続]→[POP]欄で[有効にする]をチェックして下部の[保存]を押下。
歯車アイコン→オプション
アカウントの管理→POP を使ったデバイスとアプリの接続
[POP]→[有効にする]→[保存]

 POP3サーバー名などは上記のOutlook.comアカウントと同じです。きちんと確かめたい方はOutlook.com でメール アプリをセットアップするの「POP3とSMTPをサポートするアプリ」の項を参照してください。
受信 (POP3) サーバー
サーバー アドレス: pop-mail.outlook.com
ポート: 995
暗号化された接続: SSL