首相夫人の付き秘書は【首相公邸連絡調整官】
「結論から説明すると」
私人の昭恵夫人に付き添いは公務であっても交通費は出ないきまりになっています。

だから昭恵夫人が交通費を出した。
「私人の昭恵夫人に付き添うことも公務なんです。」

−−−−−【友人からの引用】詳しくは以下を読んで−−−−−

内閣総理大臣夫人秘書は第一次安倍内閣の時にできた役職で当時は首相公邸連絡調整官、
その後次の福田内閣には引き継がれることなく、第二次安倍政権で復活した役職(現、内閣総理大臣夫人付)
首相公邸との連絡調整というのが一応の仕事内容になるので、総理大臣夫人の私用に同行するのも公務になります。

■ちなみに旅費の件ですがこれは規定が定められていまして、安倍総理の出張に同行する場合には「国家公務員等の旅費に関する法律」に基づく交通費が支払われます。
・なので安倍総理の出張に同行する場合でない昭恵夫人の私用に同行する場合には交通費は支払われないのが原則です。

内閣総理大臣夫人である安倍昭恵は私人ですので国家公務員法の縛りを受けませんが、
内閣総理大臣夫人付である谷氏は公人ですので国家公務員法の縛りを受けます。
なので彼女が国家公務員法で禁止されていることをすれば当然に国家公務員法違反になりますが、
同じことを私人である昭恵夫人が行っても公人でない昭恵夫人が罰せられることはありません。